1 正弦定理的一个推论及应用

在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若A>B，则sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．

一、结论

例1 在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B.

分析 题中条件简单，不易入手．因为是在三角形中，所以可以联系边角关系的正弦定理．

证明 因为sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半径)，

根据正弦定理变形a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中a，b分别为A，B的对边)，可得sin A>sin B⇔a>b，

再由平面几何定理"大角对大边，小角对小边"，

可得a>b⇔A>B.所以sin A>sin B⇔A>B.

二、结论的应用

例2 在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝2，求B.

分析 在遇到这样的问题时，有的同学会直接由正弦定理得B＝30°或B＝150°.其实这是错误的！只需由上述结论即可发现．

解 由正弦定理得＝，sin B＝，

又sin B

点评 同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别细心，不要出现漏解或增解的情况．

例3 在△ABC中，已知B＝30°，b＝3，c＝3，求A.