§2.3　幂函数

　　1．幂函数的概念

　　一般地，形如y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

　　幂函数的特征：

　　(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；

　　(2)xα前的系数为1，项数只有1项．

　　要注意幂函数与指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)的区别，这里底数a为常数，指数为变量．

　　2．五个具体幂函数的图象与性质

　　当α＝1,2,3，，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．

　　结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：

　　(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

　　(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；

　　(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

　　(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．

　　说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为"正抛负双，大竖小横"这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型

　　　　　 题型一　理解幂函数的图象与性质

　　下列结论中，正确的是(　　)

　　A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

　　B．幂函数的图象可以出现在第四象限

　　C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数

　　D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不