在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.

小结　思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

思考2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？

答　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．

思考3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．

答　可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．

例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．

例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．

解　f′(x)＝x2－4.

解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.

由f′(x)>0，得x<－2或x>2；

由f′(x)<0，得－2

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增↗ 单调递减↘ － 单调递增↗ 由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；

当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.

反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．