2018-2019学年高二数学人教A版选修4-5讲义：第三讲一二维形式的柯西不等式 Word版含解析-302edu教育资源网

　　[例1]　已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.

　　[思路点拨]　可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用"1＝sin2θ＋cos2θ"，然后用柯西不等式证明．

　　[证明]　∵＋

　　＝(cos2θ＋sin2θ)

　　≥2

　　＝(a＋b)2，

　　∴(a＋b)2≤＋.

　　利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．

　　1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．

　　求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.

　　证明：∵(a1b1＋a2b2)

　　＝[()2＋()2]

　　≥2＝(a1＋a2)2.

　　∴原不等式成立．

　　2．设a，b，c为正数，

　　求证：＋＋≥ (a＋b＋c)．

　　证明：由柯西不等式，

　　得 ·≥a＋b，

　　即·≥a＋b.

　　同理：·≥b＋c，

　　·≥a＋c，

将上面三个同向不等式相加得：

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