当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧．

　　所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.

　　由(1)，(2)可知命题得证．

利用数学归纳法证明整除问题 　　[例2]　用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．

　　[思路点拨]　证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了．

　　[精解详析]　(1)当n＝1时，

　　f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，

　　f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．

　　则当n＝k＋1时，

　　f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4

　　＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1

　　＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1

　　＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)

　　＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．

　　由归纳假设，f(k)能被17整除，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．

　　由(1)和(2)可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．

　　[一点通]　证明整除性问题的关键是"凑项"，即f(k＋1)的式子中"凑"出f(k)的形式，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)．另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．

　　2．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.

证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．