3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

　　学习目标：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点).2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点).3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．平面的法向量及其应用

　　(1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．

　　(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用\s\up8(→(→)·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．

　　(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

　　思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？

　　[提示]　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．

　　2．三垂线定理及其逆定理：

　　(1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．

　　②图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．

　　(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线