类型一 函数图象与导数图象的应用
例1 已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.
x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1
给出下列关于函数f(x)的说法:
①函数y=f(x)是周期函数;
②函数f(x)在[0,2]上是减函数;
③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1 其中正确说法的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数的图象确定原函数图象 答案 D 解析 依题意得,函数f(x)不可能是周期函数,因此①不正确;当x∈(0,2)时,f′(x)<0,因此函数f(x)在[0,2]上是减函数,②正确;当x∈[-1,t]时,若f(x)的最大值是2,则结合函数f(x)的可能图象分析可知,此时t的最大值是5,因此③不正确;注意到f(2)的值不明确,结合函数f(x)的可能图象分析可知,将函数f(x)的图象向下平移a(1 反思与感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性. (2)函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是f′(x)的值越大.