【典型例题3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

　　思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．

　　证明：先证必要性：

　　因为a＋b＝1，即b＝1－a，

　　所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.

　　再证充分性：

　　因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

　　即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

　　所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

　　由ab≠0，即a≠0，且b≠0，

　　所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.

　　综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

　　【典型例题4】 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

　　思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．

　　解：①a＝0时，方程有一个负实根．

　　②a≠0时，显然方程没有零根．

　　若方程有两个异号的实根，则a＜0；

　　若方程有两个负实根，则

　　解得0＜a≤1.

　　综上可知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，

　　若a≤1，则方程至少有一个负实根．

　　因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

　　点评 若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．

　　探究四易错辨析

　　易错点　充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价

　　【典型例题5】 已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．

错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.