【例3】 找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；

（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；

（4）三角形的面积为S=（a+b+c)r（r为内切圆的半径）.

思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.

解：三角形和四面体有下列共同性质.

（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.

（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.

根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质：

三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边[] 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. 三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边. 四面体的中位面的面积第于第四个面面积的，且平行于第四个面. 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切线的球心 三角形的面积为S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径) 四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）r,S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径 【变式训练】 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.

解：如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,设a、b、c分别表示3条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2,

(1) (2)

类似地，在四面体P-DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S1、S2、S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a、b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个"直角面"，S1、S2、S3，和1个"斜面"S，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2=成立.

问题探究

如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.