题型一　证明不等式

例1已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx.

(1)证明：g(x)≥1；

(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－.

证明　(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，

当0

当x>1时，g′(x)>0，

即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

所以g(x)≥g(1)＝1，得证．

(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，

所以当02时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，

所以f(x)≥f(2)＝1－(当x＝2时取等号)．①

又由(1)知x－lnx≥1(当x＝1时取等号)，②

所以①②等号不同时取得，

所以(x－lnx)f(x)>1－.

思维升华 (1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．

(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)

跟踪训练1已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：f(x)

(1)解　依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex，

又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.

(2)证明　依题意，要证f(x)

即证xln x－ex＋1