想的角度乃至哲学的角度来谈数学的发展。它广泛撷引了人类千百年来数学探求的成果,从古代埃及、中国、希腊、印度、阿拉伯广泛取材,一直谈到文艺复兴,谈到近代的欧美。它描述了思想发展过程的摸索、蹒跚和奋力前进,嘲笑了愚妄和保守,赞扬了人们的前进。它实在可以作为一部专题的文化史、思想史来阅读,作为一部鼓舞人们不断寻求进展的读物来阅读。本书出版后,在欧美受到好评:爱因斯坦对此书有良好的评价;尼赫鲁也曾在他的著作中加以援引。
本书共分十二章,简要内容如下:
第1章,谈数的语言的起源:它从人和动物的数觉谈起,谈到计数和数概念的产生,谈到-一对应和匹配的原理,介绍了基数、序数,几种主要的数制二进制、五进制、二十进制以及十进制等。它还旁及莱布尼茨从二进制产生的"用一,从无,可生万物"的唯心主义哲学观点,希腊普罗塔哥拉的"人是万物的尺度"的名言,以及数制与人类十指的关系等等。
第2章,谈算术符号:其中谈到命数法,谈及账板和算盘,谈到空位和位置原则。它谈到印度人民发现零的伟大意义,谈到当时作为一个新生事物的阿拉伯数字在不少地方遭到禁止的现象等等。它对新思想、新事物在历史上的摸索前进,作了生动具体的记述。
第3章,谈整数:其中对数论,包括哥德巴赫猜想、费尔马问题等,作了全面的介绍,对希腊的算学,包括毕达哥拉斯派的数哲学,对古代的数字崇拜(其中提到中国的《洛书》)以及当时广泛流行的字数术等,都有引人入胜的描绘。
第4章,谈无限:它讨论了数学上的无限概念,对数学推理法、演绎法、归纳法、数学归纳法乃至公理学等推理原则都有深入浅出的说明。文中节录了数学家、唯心主义哲学家彭加勒《数学推理的本质》的论文,宣称数学的判断只是"对心灵的能力的一种肯定",表现了作者本人的唯心观点。
第5章,谈有理数:它对古代埃及、希腊、印度、阿拉伯在代数上的探索和进展,作了广泛的叙述,一直谈到文艺复兴及其以后的发展.它叙述了字母记号在代数式中的使用,通过数学符号的运算,建立了有理数域,扩大了数概念。它介绍了作为数域推广的基本原则的固本原则,数学算术化的进程,并涉及了罗素和怀特海的《数学原理》一书及以他们为代表的学派的观点。
第6章,谈无理数:它从华达哥拉斯学派的观点谈起,谈到数和点的对应,表明数的概念必须扩大和能够扩大。它介绍了印度、阿拉伯人的方程式方根解,介绍了无理数的发现,以至提起了群论。它对古希腊以直尺圆规求解的三大数学名题作了详尽的介绍,描述了代数数、超越数的发现,并对古代数学界在这些问题上的探索和寻求,勾画出主要的轮廓。
第7章,谈连续性:本章完整地介绍了古希腊埃利亚学派的有名的芝诺四论,从而论述了无限算法、极限、无限小等问题,介绍了牛顿和莱布尼茨开拓的微积分理论,包括唯心主义哲学家贝克莱的反对意见等。
第8章,谈无限算法:着重介绍了数序、收敛、极限、连分数等内容,介绍了康托尔的无理数理论,它指明有理无限数列的极限构成了实数城。
第9章,谈实数:介绍了康托尔的连续统理论,又从点数对应的原理,介绍了狄德金的无理数理论。作者在阐述这些数学理论时,宣扬了自然不跳跃,时间不跳跃的哲学观点,鼓吹进化,反对突变,认为连续和因果就是时间的主要内容,并表示时间和空间都可以通过心灵动作来填补空隙,最后以数统治宇宙作为这一章的结语。
第10章,谈复数:它通过方程式求方根解,介绍了复数、虚数的发现,并详细介绍了笛卡尔的解析几何的理论,指明了这些数的具体形象。它还谈到了复变函数论、投影几何、非欧几何、理想数、矩阵等一系列发展。
第11章,谈集合:它阐述了康托尔的无限集合理论,包括无限集合的多寡性的意义、无限集合的-一比配、无限集合的势,以及无限集合中基数相同而顺序不同的序型理论等。