三、体会反证法证明不等式的优越性

【例3】 若△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,则∠B<.

证明:假设∠B≥,则b边最大,有b>a,b>c.

∴>,>.

两式相加得+>,

这与题设+=相矛盾.

因此,假设是错误的,

∴∠B<.

温馨提示

证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.

类题演练3

若|a|<1,|b|<1,求证:||<1.

证明:假设||≥1,则|a+b|≥|1+ab|.

∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.

∴a2+b2-a2b2-1≥0.

∴a2-1-b2(a2-1)≥0.

∴(a2-1)(1-b2)≥0.

∴

即a2≥1,b2≤1或a2≤1,b2≥1,与已知矛盾.

∴||<1.

变式提升3

已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.

证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,

而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|

=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.

∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.