利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过"拆分""拼""合"等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后证明之．

　　结合本例证明过程和结果，求证：

　　对实数a1a2，...，an，和正实数b1，b2，...bn.

　　有：＋＋...＋≥.

　　证明：(b1＋b2＋...＋bn)

　　≥2

　　＝(a1＋a2＋...＋an)2.

　　∵b1，b2，...，bn为正实数，∴b1＋b2＋...＋bn>0.

　　∴＋＋...＋≥.

　　1．已知a，b，c∈R＋，求证：

　　≥9.

　　证明：由柯西不等式，知

　　左边＝×

　　≥2

　　＝(1＋1＋1)2＝9.

　　∴原不等式成立.

利用柯西不等式求最值 　　[例2]　已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．

[思路点拨]　本题考查柯西不等式等基础知识，考查变形求解能力．解答此题利用x2＋2y2＋3z2＝，构造柯西不等式，再利用公式得出取值范围，从而求得最小值．