所以＝，

于是要证明的不等式为··...·＞对任意的n∈N*成立.

下面用数学归纳法证明.

则当n＝k＋1时，··...··＞·＝·＝

＝＝＝＞，

即当n＝k＋1时不等式成立，所以原不等式对任意n∈N*成立.

【点拨】 运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.

【变式训练3】设函数f(x)＝ex－1＋(a∈R).

(1)若函数f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零点，求b的最大值；

(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围；

(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求|an＋1－an|的最小值.

【解析】(1)f′(x)＝ex－1－，又函数f(x)在x＝1处有极值，

所以f′(1)＝0，即a＝1，经检验符合题意.

g′(x)＝ex－1－，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x＝1时，g′(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时g′(x)＞0，g(x)为增函数.

所以g(x)在x＝1时取得极小值g(1)＝2＋b，依题意g(1)≤0，所以b≤－2，

所以b的最大值为－2.

(2)f′(x)＝ex－1－，

当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex－1－≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，

令h(x)＝x2，则h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，

所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)＝1，所以a≤1；

当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理a≥x2ex－1，

h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值为h(2)＝4e，所以a≥4e.

综上实数a的取值范围为a≤1或a≥4e.

(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝＋，因此an＋1＝＋，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，a3＝，a4＝，结论成立；