对应学生用书P45

归纳-猜想-证明 　　

　　不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳--猜想--证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．

　　[例1]　已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)，

　　(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

　　(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．

　　[解]　(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，

　　a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，

　　猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)．

　　(2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．

　　②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2.k∈N＋)，

　　当n＝k＋1时，由已知条件和假设有

　　ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋...＋ak

　　＝5＋5＋10＋...＋5×2k－2

　　＝5＋＝5×2k－1.

　　故n＝k＋1时公式也成立．

　　由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×22n－2.

　　所以数列{an}的通项an＝

数学归纳法的应用