2　辨析命题的否定与否命题

否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．

1．否命题与命题的否定的概念

设命题"若A，则B"为原命题，那么"若綈A，则綈B"为原命题的否命题，"若A，则綈B"为原命题的否定．所以从概念上看"否命题"是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．"命题的否定"是对原命题结论的全盘否定，即"命题的否定"与原命题的条件相同，结论相反．

例1　写出下列命题的否命题及否定：

(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；

(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．

分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成"若A，则B"的形式，然后再写出相应的命题．

解　(1)原命题的条件为"|x|＋|y|＝0"，结论为"x，y全为0"．

写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为"若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0"．

写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为"若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0"．

(2)原命题可以改写为"若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加"．

否命题为"若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加"；

命题的否定为"若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加"．

点评　如果所给命题是"若A，则B"的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是"若A，则B"的形式，则需要先将其改写成"若A，则B"的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．

2．否命题与命题的否定的真假

从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．

例2　写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：

(1)若x2<4，则－2

(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.

分析　依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．