(3)以原点O为起点的向量→(OP)的坐标和点P的坐标相同.( )
(4)若→(OP)=(2,3,0),则点P在平面xOy内.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,可以作为空间向量一个基底的是( )
A.→(AB),→(AC),→(AD) B.→(AB),→(AA1),→(AB1)
C.→(D1A1),→(D1C1),→(D1D) D.→(AC1),→(A1C),→(CC1)
C [由题意知,→(D1A1),→(D1C1),→(D1D)不共面,可以作为空间向量的一个基底.]
3.设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,a=4e1-8e2+3e3,b=-2e1-3e2+7e3,则a,b的坐标分别为________.
a=(4,-8,3) b=(-2,-3,7) [由题意知a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7).]
[合 作 探 究·攻 重 难]
基底的判断 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且→(OA)=e1+2e2-e3,→(OB)=-3e1+e2+2e3,→(OC)=e1+e2-e3,试判断{→(OA),→(OB),→(OC)}能否作为空间的一个基底.
[解] (1)如图所示,令a=→(AB),b=→(AA1),c=→(AD),
则x=→(AB1),y=→(AD1),z=→(AC),
a+b+c=AC1.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.