个档次，利润每件增加2元，但在一天内产量减少3件．在一天内，最低档次的产品可生产60件．问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？

解：设在一天内，生产第x(1≤x≤10，x∈N＋)档次的产品的总利润为y.

依题意，得y＝[8＋2(x－1)][60－3(x－1)]

＝－6x2＋108x＋378(1≤x≤10，x∈N＋)，

y′＝－12x＋108，令y′＝－12x＋108＝0，解得x＝9.

因为x＝9符合题意，且y只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元.

面积、容积的最值问题

请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

[自主解答]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．

由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.