2018-2019学年人教A版选修4-5 3.2一般形式的柯西不等式 教案
2018-2019学年人教A版选修4-5   3.2一般形式的柯西不等式   教案第2页

  例1 已知a,b,c∈(0,+∞),++=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a,b,c的值.

  【精彩点拨】 由于++=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等式求解.

  【自主解答】 ∵a,b,c∈(0,+∞),

  ∴·(a+2b+3c)=[++][()2+()2+()2]

  ≥

  =(1+2+3)2=36.

  又++=2,

  ∴a+2b+3c≥18,

  当且仅当a=b=c=3时等号成立,

  综上,当a=b=c=3时,

  a+2b+3c取得最小值18.

  规律总结:利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.

  [再练一题]

  1.已知x+4y+9z=1,求x2+y2+z2的最小值.

  【解】 由柯西不等式,知

  (x+4y+9z)2≤(12+42+92)(x2+y2+z2)

  =98(x2+y2+z2).

  又x+4y+9z=1,

  ∴x2+y2+z2≥,(*)

  当且仅当x==时,等号成立,

  ∴x=,y=,z=时,(*)取等号.

  因此,x2+y2+z2的最小值为.

  题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围

例2已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求