在实际应用中，由于关系式不依赖于弦端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．

　　设直线，将其与椭圆方程联立得，

　　其判别式

　　于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于．

　　另一方面，若此时我们将与椭圆联立，可以得到"中点"满足的式子：

　　解得，

　　于是

　　因此利用中点弦问题的解法求出的点在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．

　　类似的，我们可以得到，在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．

定点弦问题

2．1 直线参数方程的引入与推广

2．1．1 直线参数方程的引入

在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．