由

题型3：探究性问题

例3如图，已知a、b是异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β.

【解析】本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力.根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行.这样过a和b分别有平面与另一条线平行.那么，这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？

证明：在直线a上任取一点P，过P点作直线b′∥b.

故过a和b′可确定一平面，记为α.

在直线b上任取一点Q.

过Q点作直线a′∥a.

同理过a和a′可确定一平面，记为β.

∵a′∥a，aα，

∴a′∥α.同理b∥α.

∵a′β，bβ，a′∩b=Q

∴α∥β.

课堂提高

1．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是(　　)

A．α，β都平行于直线a，b

B．a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β

C．a在α内且a∥β，b在β内且b∥α[

D．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

【解析】A错，若a∥b，则不能判定α∥β；

B错，若a∥b，则不能判定α∥β；

C错，若a∥b，则不能判定α∥β；D正确.

【答案】D

2．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则面DEF与面ABC的位置关系是________．