(2)实质:函数值的增量与自变量的增量之比.
(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
(4)几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率=表示割线P1P2的斜率.
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2.试求物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度.
答案 Δs=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,==10+5Δt.
思考2 当Δt趋近于0时,思考1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?
答案 当Δt趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为当t=1时的瞬时速度.
梳理 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
(2)一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为=.如果Δt无限趋近于0时,无限趋近于某个常数v,我们就说当Δt趋近于0时,的极限是v,这时v就是物体在时刻t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v= =
.
知识点三 函数在某点处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = ,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或,即f′(x0)= = .
1.在平均变化率中,函数值的增量为正值.( × )
2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( × )
3.函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.( √ )