2017-2018学年人教A版选修4-1 相似三角形的判定及有关性四直角三角形的射影定理 学案
2017-2018学年人教A版选修4-1   相似三角形的判定及有关性四直角三角形的射影定理   学案第2页

  (1)在Rt△ABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.

  (2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两条可求出第三条.

  

  

  1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是AB上的高.已知BD=4,AB=29,试求出图中其他未知线段的长.

  解:由射影定理,得BC2=BD·AB,

  ∴BC===2.

  又∵AD=AB-BD=29-4=25.

  且AC2=AB2-BC2,

  ∴AC===5.

  ∵CD2=AD·BD,

  ∴CD===10.

  2.已知:CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如果两直角边AC,BC的长度比为AC∶BC=3∶4.

  求:(1)AD∶BD的值;

  (2)若AB=25 cm,求CD的长.

  解:(1)∵AC2=AD·AB,

  BC2=BD·AB,

  ∴=.

  ∴=()2=( )2=.

  (2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16,

  ∴AD=×25=9(cm),

  BD=×25=16(cm).

  ∴CD===12(cm).

与射影定理有关的证明问题   [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、G分别为垂足.

求证:AF·AC=BG·BE.