证明　f′(x)＝，又x∈，

则cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，

∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．

规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题：

(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．

(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.

跟踪演练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．

证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.

又0

∴f′(x)＝>0，

故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．

要点二　利用导数求函数的单调区间

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1；

(2)f(x)＝sin x－x(0

(3)f(x)＝3x2－2ln x；

(4)f(x)＝x3－3tx.

解　(1)f′(x)＝ 6x2＋6x－36，

由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，

解得x< －3或x>2；

由f′(x)＜0解得－3

故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；

减区间是(－3,2)．

(2)f′(x)＝cos x－1.因为0＜x＜π，

所以cos x－1＜0恒成立，

故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．

(3)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝6x－＝2·.