这种从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可进一步加深对充要条件的理解.

二、一般地,关于充要条件的判断主要有以下几种方法:

(1)定义法:直接利用定义进行判断.

(2)等价法:"pq"表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.这里要注意"原命题逆否命题""否命题逆命题"只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.

(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若pq,则p是q的充分条件;若pq,则p是q的必要条件;若p=q,则p是q的充要条件.

名师解惑

1.充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意什么?

剖析:(1)确定条件是什么,结论是什么;

(2)尝试从条件推结论,结论推条件;

(3)确定条件是结论的什么条件;

(4)要证明命题的条件是充要的,就是既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.

2.对于充要条件,要熟悉它的哪些同义词语?

剖析:在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如"当且仅当""必须且只需""等价于""......反过来也成立".准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的.

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【例1】在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.

(1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程x2+px+p+3=0有实根;

(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,

B:c2=(a2+b2)r2.

解析:A是条件,B是结论.

若AB,则A是B的充分条件,

若BA,则A是B的必要条件,

借助方程和不等式及解析几何的知识来判断.

答案:(1)当|p|≥2时,例如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分条件.

(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,所以c2=(a2+b2)r2;

反过来,若c2=(a2+b2)r2,则=r成立,

说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,

即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,

故A是B的充分必要条件.

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对于涉及充要条件的判断问题,必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础,有些问题需要转化为等价命题后才容易判断.

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