图2-3-9

设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，

且|PQ|=2a,|BC|=a.

设点P(x,y),则Q(-x,-y).

∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),

=(-c,b),=(-2x,-2y),

∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.

∵||2=x2+y2,∴x2+y2=a2.

∵cosθ==，

∴cx-by=a2cosθ.

∴·=-a2+a2cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

绿色通道:解决向量问题的两种方法：(1)基向量法：选择不共线(最好垂直)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.

变式训练 正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈，〉的值.

思路分析：最优解法为坐标法.

解法一：(坐标法)如图2-3-10所示.

图2-3-10

以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

则有A(1，0)，C(0，1)，B(1，1)，

∴=(1，)，=(，1)，

故cos∠DOE===.