第12课 特征值与特征向量
基础诊断
1. 解析:矩阵M的特征值λ满足方程
f(λ)==(λ+1)(λ-3)-(-2)×=0,即λ2-2λ-8=0,
解得矩阵M的两个特征值为λ1=4,λ2=-2.
将λ1=4代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
将λ2=-2代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值-2的一个特征向量为.
综上所述,λ1=4,λ2=-2,属于特征值λ1=4的一个特征向量为,属于特征值λ2=-2的一个特征向量为.
2. 解析:设矩阵A=,a,b,c,d∈R.
因为e1=是矩阵A的属于λ1=1的特征向量,
则=.①
因为e2=是矩阵A的属于λ2=2的特征向量,则=.②
根据①②,则有解得
所以A=.
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例1 解析:由已知得Aα=-2α,
即==,
则即