(1)求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值.
[思路点拨] 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.
[精解详析] 以A为原点,AB,AD,AP所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).
又∵∠PDA=30°,
∴AP=AD·tan 30°=2a·=a,
AE=AD·sin 30°=2a·=a.
过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,AE=a,∠EAF=60°,∴AF=,EF=a.
∴P,E.
(1)证明:=,
=,
∴·=0+a2-a2=0.
∴⊥,∴BE⊥PD.
(2)=,=(-a,a,0).
则cos〈,〉===,
即AE与CD的夹角的余弦值为.
[一点通]
1.求两异面直线的夹角时,可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a,b的夹角〈a,b〉.但两异面直线的夹角范围是,所以当〈a,b〉∈时,两异面直线的夹角应为π-〈a,b〉.
2.合理建立空间直角坐标系,可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算,