2.在双曲线的标准方程中,a>b不一定成立.c2=a2+b2与椭圆中的a2=b2+c2不同.
双曲线的标准方程 [例1] 根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)求以椭圆+=1的短轴的两个端点为焦点,且过点A(4,-5)的双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线通过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.
[思路点拨] 用待定系数法,根据双曲线焦点的位置设方程,根据条件确定参数.当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点,也可利用双曲线的定义求解.
[精解详析] (1)法一:(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F1(0,-3),F2(0,3).
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
将点A(4,-5)代入双曲线方程得
-=1,又a2+b2=9,
解得a2=5,b2=4.
∴双曲线的标准方程为-=1.
法二:(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3)且A(4,-5)在双曲线上,
则2a=||AF1|-|AF2||=|-|=2,
∴a=,∴b2=c2-a2=9-5=4.
即双曲线的标准方程为-=1.
(2)法一:若焦点在x轴上,
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为M(1,1),N(-2,5)在双曲线上,
所以解得
若焦点在y轴上,