两类含绝对值不等式问题的证明技巧

　　一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．　

　　另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

　　　1.设a，b∈R，ε>0，|a|<，|b|<ε.

　　求证：|4a＋3b|<3ε.

　　证明：因为|a|<，|b|<ε.

　　所以|4a＋3b|≤|4a|＋|3b|

　　＝4|a|＋3|b|<4·＋3·＝3ε.

　　2．设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2.

　　证明：由a＞0，得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.

　　　利用绝对值三角不等式求函数的最值[学生用书P14]

　　　(1)求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值；

　　(2)求函数f(x)＝|x－1|－|x＋1|的值域．

　　【解】　(1)因为|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，

　　即－1≤x≤1时取等号，

　　所以当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.

　　(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2，

　　当且仅当(x－1)(x＋1)≥0，

　　即x≥1或x≤－1时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2，

　　当x≥1时函数取得最小值－2，当x≤－1时，函数取得最大值2，当－1＜x＜1时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数f(x)的值域为[－2，2]．

　　求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法

　　(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解．

　　(2)利用绝对值三角不等式进行"放缩"求解，但要注意两数的"差"还是"和"的绝对值为定值．

　　(3)利用绝对值的几何意义求解．　

　　　对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)

　　A．1　　 B．2　　　　

　　C．3　　 D．4

　　解析：选C.因为x，y∈R，

　　所以|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，

　　|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，

　　所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.

　　所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

　　　绝对值三角不等式的综合应用[学生用书P14]

　　　设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．

(1)若|a|≤1，求|f(x)|的最大值；