2018-2019学年北师大版选修4-5 几个重要的不等式章末复习学案-302edu教育资源网

≥2＝2

＝2≥(1＋9)2＝.

等号成立的条件均为a＝b＝c＝，

∴原结论成立．

类型二　利用排序不等式证明不等式

例2　设A，B，C表示△ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥.

证明　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.

由排序不等式，得

aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.

三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)

＝π(a＋b＋c)，得≥.

引申探究

若本例条件不变，求证：＜.

证明　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.

由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，

有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)

＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)

＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)

＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．

得＜.

反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的策略

(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要

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