2017-2018学年人教B版选修4-5 2.3三个正数的算术—几何平均不等式学案-302edu教育资源网

　　(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)≥3n.

　　证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.

　　同理2＋aj≥3 (j＝2,3，...n)．

　　将上述各不等式的两边分别相乘即得

　　(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)

　　≥(3)(3)...(3)

　　＝3n·.

　　∵a1a2...an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)≥3n.

　　当且仅当a1＝a2＝...＝an＝1时，等号成立.

用平均不等式求最值　　

　　[例2]　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．

　　(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．

　　[思路点拨]　对于积的形式求最大值，应构造和为定值．

　　(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．

　　解：(1)∵10，x－1>0.

　　y＝(x－1)2(3－2x)

　　＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3

　　＝3＝，

　　当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，

即x＝∈时，ymax＝.

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