建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

　　命题意图 学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力

　　知识依托 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把"问题情景"译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解

　　错解分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式

　　技巧与方法 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系

　　解法一 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则∵BD=40,AC=50－x, ∴BC=

　　又设总的水管费用为y元，依题意有y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)

　　y′=－3a+,令y′=0,解得x=30

　　在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，

　　函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)

　　∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省

　　解法二 设∠BCD=Q,则BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ

　　设总的水管费用为f(θ),依题意，

　　有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·=150a+40a·

　　∴f′(θ)=40a·

　　令f′ (θ)=0,得cosθ=根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，

　　此时sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省

　　例3已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)

　　(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；

　　(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问 是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数

　　解 (1)由题意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c

　　f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1

　　∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1

　　(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ)

　　若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ)x ∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，

　　∴当x＜－1时，φ′(x)＜0 即4x3+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立

∴2(2－λ)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4