命题角度2　曲线与方程的概念应用

例2　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.

证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．

因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，

所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．

②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，

则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.

而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．

反思感悟　解决此类问题要从两方面入手

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说"点不比解多"，称为纯粹性；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说"解不比点多"，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

跟踪训练2　写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线．

解　由方程(x＋y－1)＝0可得或＝0.

即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，

∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．

题型二　曲线与方程关系的应用

例3　已知方程x2＋(y－1)2＝10.

(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；

(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．