已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较＋＋＋...＋与1的大小，并说明理由．

　　解：＋＋＋...＋<1.

　　理由如下：

　　因为f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，

　　所以an＋1≥(an＋1)2－1.

　　因为函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，

　　所以由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，

　　进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，

　　由此猜想：an≥2n－1.

　　下面用数学归纳法证明这个猜想：

　　①当n＝1时，a1≥21－1＝1，猜想成立；

　　②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，

　　即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，

　　由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，

　　ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，

　　即n＝k＋1时，猜想也成立．

　　由①，②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1，

　　即1＋an≥2n.

　　所以≤.

　　所以＋＋＋...＋≤＋＋＋...＋＝1－<1.

　用数学归纳法证明数列不等式[学生用书P59]