PQ，则MP∥AB，NQ∥AB.

所以MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB.

又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，

所以MP＝NQ.故四边形MPQN为平行四边形. 所以MN∥PQ.

因为PQ⊂平面BCE，MN⊄平面BCE，所以MN∥平面BCE.

方法二：如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC.

所以＝.连接NH，由BF＝AC，FN＝AM得＝，

所以NH∥AF∥BE.

因为MN⊂平面MNH，所以MN∥平面BCE.

【点拨】解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥平面或转化为证明两个平面平行.方法二中要证明线面平行，通过转化为证两个平面平行，正确地找出MN所在平面是一个关键方法.方法一是利用线面平行的判定来证明，方法二则采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.

【变式训练2】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.

【证明】如图所示，连接AC，设AC交BD于O，连接MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点.

又因为M是PC的中点，所以MO∥PA.

又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，所以PA∥平面BDM，

平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.

题型三　线面、面面平行的性质

【例3】 如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问此截面在什么位置时其面积最大？

【解析】因为AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.

所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH，

同理可证EF∥GH，所以截面EFGH是平行四边形.

设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α，FG＝x，GH＝y，

则由平面几何知识得＝，＝，

两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，

所以SEFGH＝FG·GH·sin α＝x·(a－x)·sin α＝x(a－x).

因为x＞0，a－x＞0且x＋(a－x)＝a为定值，

所以当且仅当x＝a－x即x＝时，