所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋－＝0.

所以⊥.同理可得⊥.

所以AC1⊥平面A1BD.

【点拨】利用|a|2＝a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.

【变式训练2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长.

【解析】||2＝2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120°

＝2a2＋b2－2ab.

所以|AC1|＝.

题型三　利用坐标求法向量和证明垂直问题

【例3】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别是BB1，CD的中点.

(1)求证：D1F⊥平面ADE；

(2)求平面ADE的一个法向量.

【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， F(0，，0)，E(1,1， ).

所以＝(0，，－1)， ＝(－1,0,0)，＝(0,1，)，

因为·＝0，所以⊥，

又·＝0，所以⊥，

所以D1F⊥平面ADE.

(2)由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一个法向量为＝(0，，－1).

【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难度，同学们需要善于利用.

【变式训练3】 已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，

－3,6)，则下列各点中，在平面α内的是(　　)

A.A(2,3,3) B.B(－2,0,1)

C.C(－4,4,0) D.D(3，－3,4)

【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内任意一个向量垂直，只有在选项A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故选A.

题型四　利用坐标法求解线面及面面位置关系

【例4】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.

(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.