类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2 (1)过抛物线y2=8x的焦点,倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.
(2) 直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为________________.
(3)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.
反思与感悟 (1)抛物线上任一点P(x0,y0)与焦点F的连线得到的线段叫作抛物线的焦半径,对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为:
①抛物线y2=2px(p>0),|PF|=|x0+|=+x0;
②抛物线y2=-2px(p>0),|PF|=|x0-|=-x0;
③抛物线x2=2py(p>0),|PF|=|y0+|=+y0;④抛物线x2=-2py(p>0),|PF|=|y0-|=-y0.
(2)已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则:
①y1·y2=-p2,x1·x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(θ为直线AB的倾斜角);
③S△ABO=(θ为直线AB的倾斜角);
④+=;
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p.
跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;