【例2】 已知A、B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?

思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.

解:设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k＞0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,

∴720=k·122,得k=5.

设全程燃料费为y,由题意y=y1·,

∴y′=.

令y′=0,∴v=16.∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省;

当v＜16且实际速度∈(8,v］时,y′＜0,

即y在(8,v］上为减函数,∴当实际速度为v＜16时,ymin=.

综上,当v≥16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,为32 000元;

当v＜16时,则实际速度为v时,全程燃料费最省,为.

【例3】已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式;

(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.

解:(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)＜0的解集是(0,5),

∴不妨设f(x)=ax(x-5)(a＞0).

f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，

∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值12在x=-1处取得,

f(-1)=6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R)。

(2)由f(x)+=0,即2x2-10x+=0,即2x3-10x2+37=0(x≠0).

令h(x)=2x3-10x2+37,则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10),

当x∈(,+∞)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数,

当x∈(0,)时,h′(x)＜0,h(x)是减函数,

当x∈(-∞,0)时,h′(x)＞0,h(x)是增函数,