解得≤a<1.

各个击破

类题演练 1

指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是命题，并分别用符号""""表示.

（1）存在实数a,b,使|a-1|+|b-1|=0；

(2)对于实数a∈R,a0=1；

（3）有些实数x,使得|x+1|<1.

解：命题（1）(3)是存在性命题，命题（2）是全称命题，用""""表示分别为：

（1）a,b∈R,使|a-1|+|b-1|=0.

(2)a∈R,a0=1.

(3)x∈R,使|x+1|＜1.

变式提升 1

用符号""与""表示下面含有量词的命题.

（1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解.

(2)若a,b是偶数，则a+b也是偶数.

解：（1）x∈R.

使|x-1|+|x-2|＜3.

(2)a,b∈R且a,b为偶数,使a+b为偶数.

类题演练 2

试判断以下命题的真假：

（1）x∈N，x4≥1；

(2)x∈Z,x3<1；

(3)x∈R,x2-3x+2=0；

(4)x∈R,x2+1=0.

解析：（1）由于0∈N,当x=0时，x4≥1不成立,所以此命题是假命题.

(2)由于-1∈Z,当x=-1时，能使x3＜1,

∴命题x∈Z，x3＜1是真命题.

（3）假命题.因为只有x=2或x=1时满足.

（4）假命题.

∵不存在一个实数x,使x2+1=0成立.

变式提升 2

判断下列全称命题的真假.

（1）有一个内角为直角的菱形是矩形；

（2）对任意a,b∈R,若a>b,则<;

(3)对任意m∈Z且为偶数，则2m+为偶数.

解：（1）是真命题.有一个内角为直角的平行四边形是矩形，而菱形都是平行四边形，于有一个角是直角的菱形是矩形.

（2）是假命题.