解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，

∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.

题型二　利用数量积求夹角

例2　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值.

解　因为\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)，

所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

＝|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉－|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉

＝8×4×cos135°－8×6×cos120°

＝－16＋24.

所以cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝\s\up6(→(OA,\s\up6(→)＝＝.

即OA与BC所成角的余弦值为.

反思与感悟　利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.

跟踪训练2　如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.

证明　\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·\s\up6(→(→)

＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→))·\s\up6(→(→)

＝a2＋a2cos120°＋a2cos60°－a2cos60°＝0，

所以\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→)，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.

题型三　利用数量积求距离

例3　正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.