2018-2019学年人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用 小结与复习 教案
2018-2019学年人教A版选修2-2        第一章   导数及其应用 小结与复习   教案第3页

2.概念辨析,完善认知

1)导数

1.对于导数的定义,必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式,导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限,即 = .

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.

2).几种常见函数的导数公式

3).判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间;

(2)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.

4).利用导数研究函数的极值要注意

(1)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有极值点,函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.

(2)可导函数的极值点一定是导数为零的点,但函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是加上这点两侧的导数异号.

5)求函数的最大值与最小值

求函数最值的步骤

一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

6).定积分的概念

定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、

2.定积分的性质

(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数);

(2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;

(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).

3、典例分析

题型1:求切线方程

【例1】 设函数f(x)=4x2-ln x+2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程.

题型2:求函数的单调区间

【例2】(1) 已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0.讨论f(x)的单调性.

(2). 已知函数f(x)=mln x+(m-1)x( m∈R).

1)当m=-2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

2)讨论f(x)的单调性.

2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+m-1=.

当m≤0时,由x>0知f′(x)=+m-1<0恒成立,此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;

当m≥1时,由x>0知f′(x)=+m-1>0恒成立,此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

当0<m<1时,由f′(x)>0,得x<,由f′(x)<0,得x>,

此时,f(x)在区间(0,)内单调递增,在内单调递减.

通过对形成的知识框图,进一步完善其中的知识要点。学生可通过小组交流和自读课本来明确知识要点。

解 f′(x)=8x-.所以在点(1,f(1))处切线的斜率k=f′(1)=7,

又f(1)=4+2=6,

所以切点的坐标为(1,6),

所以切线的方程为y-6=7(x-1),即y=7x-1.

解 由题知,f(x)的定

域是(0,+∞),

f′(x)=1+-=.

设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.

①当Δ<0即0<a<2时,对一切x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.

1)当m=-2时,f(x)=-2ln x-3x,f′(x)=--3,所以f′(2)=-4,

即切线的斜率为k=-4,又f(2)=-6-2ln 2,所以,切点为(2,-6-2ln 2),

于是,切线方程为y+6+2ln 2=-4(x-2),即4x+y-2+2ln 2=0.