如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求直线BD与B1C的距离．

　　[解]　法一：连接AC，交BD于点O，则O为AC，BD的中点，取CC1的中点M，连接BM交B1C于E，连接OM，AC1，则OM∥AC1，过E作EF∥OM交OB于F，则EF∥AC1，

　　又斜线AC1的射影为AC，BD⊥AC，

　　∴BD⊥AC1，∴EF⊥BD.

　　同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C.

　　∴EF为BD与B1C的公垂线．

　　∵M为CC1的中点，∴△MEC∽△BEB1，

　　∴＝＝.

　　∵BM＝a，∴BE＝MB＝a，

　　∵EF∥OM，∴＝＝，

　　故BF＝OB＝a，

　　∴EF＝＝a.

　　法二：(转化为直线到平面的距离)BD∥平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离为h，由VB­B1D1C＝VD1­B1BC，

　　即·(a)2h＝·a2·a，解得h＝a.

　　法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：

　　平面B1D1C∥平面A1BD，AC1⊥平面A1BD，用等体积法易证A到平面A1BD的距离为a.同理可知C1到平面B1D1C的距离为a，而AC1＝a，故两平面间的距离为a.

　　即BD与B1C的距离为a.

　　法四：(垂面法)如图，∵BD∥平面B1CD1，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1，

　　∴B1D1⊥平面OO1C1C.

∵平面OO1C1C∩平面B1D1C＝O1C，O1∈B1D1，故O到平面D1B1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高，