所以＝＋VD－ABC＝V.

故油最理想的剩余量为V.

【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法.

【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？

【解析】设球的半径为R，则圆锥的高h＝3R，底面半径r＝R，

V圆锥＝·(R)2·3R＝3πR3；V球＝πR3.

所以＝＝，

所以剩下的水量是原来的1－＝.

【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.

题型三　组合体的面积、体积的关系

【例3】底面直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A，如图所示：

(1)求面积A以x为自变量的函数式；

(2)求截得棱柱的体积的最大值.

【解析】 (1)A＝x· (0＜x＜2).

(2)V＝x··1＝ ＝.

因为0＜x＜2，所以当x＝时，Vmax＝2.

【点拨】关键是理解截面，并且注意x的范围从而求体积，在求第(2)求体积时还可利用不等式.

【变式训练3】(2010山东检测)把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为(　　)

A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π

【解析】设长方形的一条边长为x cm，则另一条边长为(6－x) cm，且0＜x＜6，以长为(6－x) cm的边作为围成的圆柱的高h，若设圆柱的底面半径为r，则有2πr＝x，所以r＝，因此圆柱的体积V＝π·()2(6－x)＝(6x2－x3)，由于V′＝·(12x－3x2)，令V′＝0，得

x＝4，容易推出当x＝4时圆柱的体积取得最大值，此时圆柱的底面周长是4 cm，圆柱的高是2 cm，所以圆柱的底面周长与高的比为2∶1，选C.

总结提高