1.根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系,如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角,函数曲线呈现上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零,则其倾斜角是钝角,函数曲线呈现下降的状态,即函数单调递减.
2.在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件,而不是充要条件.如果出现个别点使f′(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但由f′(x)=3x2知,f′(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
判断(或证明)函数的单调性 [例1] 讨论下列函数的单调性.
(1)y=ax5-1(a>0);
(2)y=ax-a-x(a>0且a≠1).
[思路点拨] 先求出函数的导数,然后通过导数的符号来讨论函数的单调性.
[精解详析] (1)∵y′=5ax4且a>0,
∴y′≥0在R上恒成立,
∴y=ax5-1在R上为增函数.
(2)y′=axln a-a-xln a(-x)′=(ax+a-x)ln a,
当a>1时,ln a>0,ax+a-x>0,
∴y′>0在R上恒成立,
∴y=ax-a-x在R上为增函数.
当00,
∴y′<0在R上恒成立,
∴y=ax-a-x在R上为减函数.
[一点通] 判定函数单调性的方法有两种:
(1)利用函数的单调性的定义,在定义域内任取x1,x2,且x1 (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,步骤是:①求f′(x),②确定f′(x)在(a,b)内的符号,③得出结论.