和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab＞0，ab＜0，ab＝0三种情况 确定的，其本质是叙述两个实数的符号在各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．"数"分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．

　　2．绝对值不等式的几何意义

　　剖析：用向量a，b替换实数a，b时，问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，a＋b，a，b构成三角形，有|a＋b|＜|a|＋|b|．当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab≥0)时，|a＋b|＝|a|＋|b|；a，b异向(相当于ab＜0)时，|a＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆，并有利于定理的应用．

　　题型一　利用绝对值不等式证明不等式

　　【例1】设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：＜2．

　　分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．判断|a|，|b|和1这三个数中哪个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1．从而利用这一条件证题．

　　反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要 与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言"翻译"转化而 ，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言"m等于|a|，|b|和1中最大的一个"转化为符号语言"m≥|a|，|m|≥|b|，m≥1"，这是证明本题的关键．

　　题型二　利用绝对值不等式求最值

　　【例2】求函数y＝|x＋1|－|x－4|的最大值和最小值．

　　分析：可以利用绝对值不等式的性质进行变形 解，也可以把绝对值号去掉，转化成分段函数，分别求出最值，最后取并集．

　　反思：对于含有两个及两个以上的绝对值代数式，把其利用各零点转化成分段函数，再利用分段函数的性质分别进行分析是很好的方法．

　　答案：

　　【例1】证明：∵|x|＞m≥|a|，|x|＞m≥|b|，|x|＞m≥1，

　　∴|x|2＞|b|．

　　∴≤＋＝＋＜＋＝2．

　　故原不等式成立．

　　【例2】解：解法一：

　　≤＝5，

　　∴－5≤|x＋1|－|x－4|≤5．

　　当且仅当

　　即x≥4时，|x＋1|－|x－4|≤5中的等号成立．

　　当且仅当

　　即x≤－1时，|x＋1|－|x－4|≥－5中的等号成立．

　　∴ymax＝5，ymin＝－5．

　　解法二：把函数看作分段函数

y＝|x＋1|－|x－4|＝