3.1.2　瞬时变化率--导数(二)

学习目标　1.理解函数的瞬时变化率--导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.

知识点一　函数的导数

思考　函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？

答案　函数f(x)在点x0附近的平均变化率为＝，

当Δx→0时，→A，

A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0).

梳理　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).

知识点二　导数的几何意义

思考　导数f′(x0)有什么几何意义？

答案　f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.

知识点三　导数与导函数的关系

思考　导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？

答案　函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0的函数值.

f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.

梳理　(1)导函数的定义

若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数.

(2)f′(x0)的意义

f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.

1.函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0∈(a，b)都有f′(x0)存在.(　√　)

2.f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值.(　√　)