个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变;②三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.

　　　说明 1.对于空间任意两个非零向量a、b,当它们的基线不在任何同一个平面内(两基线异面),那么总可以通过平移,把它们移到同一平面内,这说明任意两个向量都可以通过平移,转化为平面向量.

2.向量数乘的运算除了满足分配律及结合律外,还有以下些性质:

(1)若a≠0,λ1a=λ2a,则λ1=λ2；

(2)若λ≠0,λa1=λa2,则a1=a2;

(3)λ1a+λ2a+...+λna=(λ1+λ2+...λn)a；

(4)λa1+λa2+...+λan=λ(a1+a2+...+an).

典型例题分析

题型1 空间向量的有关概念

【例1】 回答下列问题:

(1)单位向量一定相等?

(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量?

(3)相等的非零向量,若起点不同,则终点一定不同,这一判断正确吗?

(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内?

　解析 利用向量的有关概念进行判断.

　答案 (1)不一定.

单位向量是指模为1,方向却是不确定的,所以单位向量不定相等.

两个非零向量相等必须具备两个条件:一是模相等,二是方向相同.两个条件缺一不可.

(2)是.

对照向量相等必须具备的两个条件,这两个条件中,并没有对相应的有向线段的起点加任何限制因此看来,表示相等向量的有向线段的起点是很自由的,相等向量的起点位置具有任意性.

(3)正确.

因为在起点不同的情形下,如果终点相同,那么这些向量就不平行,即这些向量的方向就不相同,这与向量相等的定义相矛盾.