如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线、的方向向量分别为、，则有。

由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明。

（2）两条直线所成的角

设空间两条直线所成的角为，当两直线平行时，当两直线垂直时，既

不平行也不垂直的两直线所成的角，所以空间两直线所成的角。

如上右图所示，设直线和的方向向量分别为和，则有

。

由式计算两直线的夹角的大小转化为求两直线的方向向量的夹角的大小的绝对值。

注意 直线的方向向量间的夹角与相等或互补，所以上式右端有绝对值。

典型例题分析

题型1 直线的方向向量与向量参数方程

【例1】 在空间直角坐标系中，设直线经过点，直线的方向向量为

，是直线上的任意一点，求满足的关系式。

解析 利用直线的向量参数方程求点的轨迹。

答案 由题意可得：，因为是直线的方向向量，所以

，所以有，即，所以满足题意的关系式为

。