得=e1+e2.

3.向量共线的应用

【例3】 已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+ e2和e1+ke2共线，求实数k的值.

思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).

解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，

∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).

∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.

∵e1和e2不共线，

∴

∴k=±1.

友情提示

本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.

类题演练 3

a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1、e2共线，则a与b（ ）

A.共线 B.不共线

C.可能共线，也可能不共线 D.不能确定

解析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,

∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,

当3λ-4≠0时，a=b，故a与b共线.

当3λ-4=0时，b=0,a与b也共线.

答案：A

变式提升 3

设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k的值.

解析：=-

=（2e1-e2）-(e1+3e2)

= e1-4e2,

由题设A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,

所以2e1+ke2=λ(e1-4e2),

解得所以k=-8.

【例4】 如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a,AB=b,M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.